Trigonometría
Nivel 1
Problemas Resueltos
Las razones trigonométricas tal como se han definido hasta ahora (en un triángulo rectángulo) se emplean para hallar lados o ángulos desconocidos de un triángulo rectángulo.
SOHCAHTOA
El Problema pide (o dá):
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Hipotenusa y cateto Opuesto
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Busque OH en la frase recordatoria y use la función asociada Seno.
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Hipotenusa y cateto Adyacente
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Busque AH en la frase recordatoria y use la función asociada Coseno
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-
cateto Opuesto y cateto Adyacente
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Busque OA en la frase recordatoria y use la función asociada Tangente
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Resolución de triángulos rectángulos
math2me
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Ejemplo 1
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Un edificio tiene una altura de 50metros, si el sol está a 45º de la horizontal y el edificio produce una sombra.
¿Cuál es la longitud de la sombra proyectada en el suelo?
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Solución:
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En este caso el problema pide hallar el cateto opuesto (la sombra) y dá el cateto adyacente (la altura). Se emplea, entonces la tangente del ángulo dado.
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El lado que mide 50 es el cateto opuesto al ángulo de 45°
El lado que mide x es el cateto adyacente al ángulo de 45°
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cateto opuesto 50
tan 45° = ─────────── = ────
cateto adyacente x
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Despejamos x
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50 50
x = ──── = ──── = 70.7 metros RESPUESTA
tan 45° 0.707
Ejemplo 2
Un hombre cruza un río nadando, pero la fuerza de la corriente lo desvía un ángulo de 28º.
Si el hombre nadó 52 m, estimemos el ancho del río.
Solución:
En este caso el problema pide hallar el cateto adyacente (el ancho del rio) y dá la hipotenusa (la distancia que nadó). Se emplea entonces el coseno del ángulo dado.
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El lado que mide x es el cateto adyacente al ángulo de 28°
La hipotenusa mide 52 m
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cateto adyacente x
cos 28° = ─────────── = ────
hipotenusa 52
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Al despejar x se obtiene:
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x = 52 x cos 28° = 52 x 0.883 = 45.9 metros RESPUESTA
Ejemplo 3
Dos edificios quedaron conectados por medio de un puente peatonal, según el diseño que ilustra la figura.
¿Cuál es la longitud del puente?
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Solución:
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La longitud del puente es x + y ; debemos resolver cada uno de los triángulos por separado y luego sumar los resultados.
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En los dos problema se pide hallar el cateto adyacente y se dá el cateto opuesto. Se emplea, entonces la tangente del ángulo dado.
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Cada triángulo se trabaja como el del ejemplo 1
Ejemplo 4
Una escalera de 10 m esta apoyada en una pared de forma que alcanza una altura de 7m.
¿Que ángulo a forma con el suelo?
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Solución:
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Como sen a = 7/10 el ángulo a lo encontramos así:
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a = arcsen(7/10) = arcsen(0.7)
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con calculadora a = 44.4° RESPUESTA
Ejemplo 5
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La cima de una montaña lejana se observa bajo un ángulo de elevacion de 22°. Si se avanza 100 metros hacia ella, en linea recta, el ángulo de elevación es ahora de 28°
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¿Que altura tiene la montaña?
Solucion:
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Se forman dos triángulos rectángulos: CDB y CDA
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Sea d la longitud del segmento BD, entonces:
en CDB, tan(28°) = h/d (1)
en CDA, tan(22°) = h/(100+d) (2)
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Despejamos h de cada ecuación:
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h = d tan(28°)
h = (100 + d) tan(22°)
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Igualamos:
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d tan(28°) = (100 + d) tan(22°)
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d tan(28°) = 100 tan(22°) + d tan(22°)
d tan(28°) - d tan(22°) = 100 tan(22°)
d [tan(28°) - tan(22°)] = 100 tan(22°)
Despejamos d
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100 tan(22°)
d = ─────────────
tan(28°) - tan(22°)
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tan(22°) = 0.404
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tan(28°) = 0.532
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100 x 0.404
d = ───────── = 315.6 metros
0.532 - 0.404
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Reemplazamos d en (1) o en (2)
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h = d tan(28°) = 315.6 x 0.532 = 167.9 metros
Ejemplo 6
Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 10m. del suelo y observa el edificio de enfrente. La parte superior con un ángulo de 45° y la parte inferior con un ángulo de depresión de 30°.
Determine la altura del edificio señalado.
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La altura buscada h se divide endos partes h1 y h2, h2 lo conocemos 10 m.
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En el triángulo rectángulo ACD calculemos el lado AC mediante la razón tangente de 30°
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tan30° = h2 / AC ; AC = h2/tan30° ; AC = 17.32 m
Conociendo ya la longitud del segmento AC pasemos al triángulo rectángulo ACB en el que queremos averiguar el cateto opuesto (h1) al angulo dado y del cual conocemos el cateto adyacente a él. La razón a usar será entonces tangente.
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tan45° = h1 / AC = h1 / 17.32 ; h1 = 17.32 x tan45° = 17.32 x 1 ; h1 = 17.32 m
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Sumemos h1 y h2 para encontrar la altura total: h = 17.32 + 10 = 27.32 m
Ejemplo 7
Un río tiene las dos orillas paralelas. Desde los puntos P y Q de una orilla, se observa un punto R de la orilla opuesta. Si las visuales forman con la dirección de la orilla ángulos de 32 grados y 50 grados, respectivamente, y la distancia entre los puntos P y Q es 30 metros.
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Determine el ancho del río.
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Ejemplo 8
¿Cuál sería la longitud total de una correa plana que une exteriormente dos poleas de radios 10 y 14cm y cuyos centros se encuentran a 30 cm de distancia?
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Longitud de la correa = arco s1 + arco s3 + 2s2
Ejemplo 9
Del antecedente dado, deducimos que tan (8x – 5º) = 1 / tan (x + 5º). Recuérdese que la cotangente de un ángulo es iguual al recíproco de la tangente de dicho ángulo; entonces tan (8x – 5º) = ctg (x + 5º) y esto sólo puede ocurrir si (8x-5°) + (x+5°) = 90°
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De quí se deduce que 9x 0 90° o sea que x = 10°. Hallemos entonces k
Pero ctg60° = tan30° entonces