Trigonometría
Nivel 1
Teoría del Nivel 1
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1. Cateto Opuesto - Cateto Adyacente
2. Triángulo rectángulo de hipotenusa unitaria
3. Seno y Coseno en un triángulo de hipotenusa unitaria
4. Tangente en un triángulo de hipotenusa unitaria
5. ¿ Y si el triángulo no tiene hipotenusa unitaria ?
6. Tabla de Funciones Trigonométricas
7. Representación gráfica de las razones trigonométricas
8. Las primeras identidades
9. Sabemos el seno, coseno o tangente pero no conocemos el ángulo.​
1. Cateto Opuesto - Cateto adyacente
Se refiere a los catetos de un triángulo rectángulo, o sea aquellos lados que no son opuestos al ángulo recto. El calificativo opuesto y adyacente depende del ángulo diferente al recto del cual se este hablando.
Si nos referimos al ángulo alfa
Si nos referimos al ángulo beta
​2. Triángulo rectángulo de hipotenusa unitaria
Es un triángulo rectángulo cuya hipotenusa vale la unidad sea cual fuere ésta. Por ejemplo puedo tener unidades de diferente longitud.
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Al construir un triángulo rectángulo con cualquiera de ellas se tiene un THU
3. Seno y Coseno en un triángulo de hipotenusa unitaria
"En un triángulo rectángulo de hipotenusa unitaria, se define el seno de un ángulo como la medida del cateto opuesto al ángulo ."
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​​seno A = cateto opuesto
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"En un triángulo rectángulo de hipotenusa unitaria, se define el coseno de un ángulo como la medida del cateto adyacente al ángulo ."
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coseno A = cateto adyacente
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4. Tangente en un triángulo de hipotenusa unitaria
Para "medir" la tangente trazamos una circunferencia de radio unitario que tenga como centro el vértice del ángulo.
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Luego prolongamos la hipotenusa hasta que corte la escala vertical y tomamos la lectura
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Puede demostrarse que:
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seno A
tangente A​ = ──────
coseno A
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Si el triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de valor h éste resulta ser semejante a un triángulo rectángulo de hipotenusa unitaria que se construyera con los mismos ángulos.
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En tal caso, el cateto opuesto vendría dado por:
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cateto opuesto = hipotenusa x sen A
y el cateto adyacente por:
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cateto adyacente = hipotenusa x cos A
​Esto, usualmente se expresa asi:
​​ cateto opuesto
seno A​ = ──────────
hipotenusa
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​​ cateto adyacente
coseno A​ = ──────────
hipotenusa
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5. Y si el triángulo no tiene hipotenusa unitaria ?
Recordemos que la tangente es el seno sobre el coseno, entonces, fácilmente se llega a:
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​​ cateto opuesto
tangente A​ = ──────────
cateto adyacente
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Conviene memorizar la siguiente frase de trés sílabas:
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SOHCAHTOA
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SOH : Seno es Opuesto sobre Hipotenusa
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CAH : Coseno es Adyacente sobre Hipotenusa
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TOA : Tangente es Adyacente sobre Hipotenusa
6. Tabla de Funciones Trigonométricas
Consúltelas aquí
7. Representación gráfica de las razones trigonométricas
8. Las primeras identidades
En matemáticas, una identidad es una expresión algebraica que siempre es verdadera. Por ejemplo, en el álgebra elemental se estudian las identidades:
Verdaderas para cualquier valor de a o b.
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En trigonometría también existen este tipo de expresiones que son válidas para cualquier valor de los ángulos involucrados en ellas. Tales expresiones se denominan identidades trigonométricas.
Considérese la definición básica del seno y del coseno en un triángulo rectángulo. De tal definición se deduce, aplicando Pitágoras, una de las más importantes identidades trigonométricas:
Razones Trigonométricas de Angulos Complementarios
En un triángulo rectángulo (ver figura adjunta) el lado que, para uno de los ángulos agudos es el seno, para el otro ángulo ese mismo lado representa su coseno y viceversa.
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Esto conduce a las tres identidades que se indican y que se cumplen para cualquier par de ángulos siempre y cuando sean complementarios (su suma sea 90°)
Ejercicios:
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1. Indicar el valor de verdad de las proposiciones: sen80º = cos20º ; tan45º = ctg45º ; sec(80º-x) = csc(10º+x)
La primera es FALSA porque 80°+20° nó es 90°. La segunda es VERDADERA porque 45°+45°=90°. En cuanto a la tercera se requiere analizar si (80° - x) + (10° + x) es igual a 90°; esto efectívamente es así lugo la proposición es VERDADERA
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2. Dada la ecuación sen5x=cosx cuál será el valor de x ?
La única forma en que el seno de un ángulo sea igual a su coseno de otro es que los dos ángulos sean complementarios. En este caso que 5x + x = 90° de donde se deduce que 6x = 90° o sea x = 90° / 6 ; x = 15°
Ejercicios propuestos: (La solución se encuentra aquí)
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1. Dadas las ecuaciones sen3a – cosb = 0 y tan2b.ctg30º - 1 = 0 encontrar los valores de a y b que las satisfacen.
2. Se sabe que a y b son ángulos complementarios, además: sena = 2t + 3 ; cosb = 3t + 4.1 Hallar tana
9. Sabemos el seno, coseno o tangente pero no conocemos el ángulo.
Si en un triángulo, como el de la figura, se conoce un cateto y la hipotenusa y se busca el valor del ángulo opuesto al cateto dado.
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sen A = 3 / 6 (cateto opuesto/hipotenusa)
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sen A = 0.5. Sabemos el seno pero no conocemos el ángulo.
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Escribimos: A = arcsen 0.5
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que se lee "A es el arco cuyo seno es 0.5"
El arcosen, arccos o arctan se encuentran mediante cualquiera de los métodos mencionados a continuación.
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calculadora.
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Muy importante es verificar que cuando se vayan a utilizar funciones trigonométricas en cualquier calculadora, los datos de entrada y salida estén expresados en grados sexagesimales y no en radianes (otra manera de medir ángulos); de otra manera los resultados serían complétamente erroneos. Las funciones trigonométricas inversas, usualmente, se encuentran en unas teclas sen a la menos 1 y cos a la menos 1 a las que se tiene acceso oprimiendo préviamente la tecla INV ó Shift
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Cada calculadora tiene su propia distribución de teclado y varía su operación. A manera de ejemplo se indican los pasos a seguir para el manejo de las funciones trigonométricas inversas en una calculadora Casio FX-570MS
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en un celular Android
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La calculadora que viene preinstalada en algunos celulares no tiene funciones trigonométricas inversas por lo tanto se requiere instalar una; se recomienda, para Android, la FXCalc Scientific Calculator de RazorScript.
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calculadora online.
Si dispone de una conexión a Internet puede usar la calculadora online de Gyplan.com
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http://www.gyplan.com/es/invtrigo_es.html
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usando tablas.
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En el siguiente enlace encontrará la manera de hallar un arcsen o arccos usando las tablas suministradas en esta página.
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