Trigonometría
Nivel 3
Teoría del Nivel 3
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1. Definición Formal de Seno y Coseno
1.1 Reducción al primer cuadrante
2. Identidades Trigonométricas
3. Las funciones trigonométricas inversas arcsen, arccos, arctan
3.1 Siempre son DOS ángulos !
3.2 ¿ Cómo hallarlos ?
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1. Definición formal de Seno y Coseno
Una definición formal del seno y del coseno se basa en la noción de un punto que se desplaza sobre una circunferencia de radio unitario y centro en el orígen de un plano de coordenadas rectangulares.
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El desplazamiento es en sentido positivo (el de las manecillas del reloj) y comienza en el punto (1, 0).
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El seno y el coseno de un ángulo son, respectívamente, la ordenada y la abcisa de dicho punto.
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1.1 Reducción al Primer Cuadrante
Es el procedimiento mediante el cual se obtiene un ángulo en el primer cuadrante cuyo sen o cos tiene la misma magnutud (sin considerar el signo) al de otro ángulo situado en cualquiera de los otros cuadrantes (ver figura).
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Reducir un ángulo del cuadrante II
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Las magnitudes de sen o cos de un ángulo A del cuadrante II (90° < A < 180°) son las mismas que las del ángulo que se obtiene al restarlo de 180°.
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Los signos son sen +, cos -
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Reducir un ángulo del cuadrante III
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​​Las magnitudes de sen o cos de un ángulo A del cuadrante III (180° < A < 270°) son las mismas que las del ángulo que se obtiene al restarle 180°.
Los signos son sen -, cos -
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Reducir un ángulo del cuadrante IV
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​Las magnitudes de sen o cos de un ángulo A del cuadrante IV (270° < A < 360°) son las mismas que las del ángulo que se obtiene al restarlo de 360°.
Los signos son sen -, cos +
Animación de un punto sobre una circunferencia de radio unitario desplazándose por los cuatro cuadrantes. Se puede apreciar cuál el signo del seno y del coseno del ángulo que, en cada caso, forma el radio vector con el eje horizontal
3. Las funciones trigonométricas inversas arcsen, arccos, arctan
El arcsen (léase arco seno) y el arccos (léase arco coseno) son las funciones inversas del seno y coseno respectívamente.
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Se usan para hallar los valores del ángulo y cuando se conoce el valor x de su seno o de su coseno:
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y = arcsen(x) que se lee : "y es el arco (ángulo) cuyo seno es x"
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y = arccos(x) que se lee : "y es el arco (ángulo) cuyo coseno es x"
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a x se lo denomina argumento de la función
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El dominio de las funciones (los valores que puede tomar la variable independiente) es cualquier valor entre 0 y 1 ya que entre estos valores se encuentra el seno (o coseno) de un ángulo.
Una aplicación se dá, por ejemplo, si en un triángulo, como el de la figura, se conoce un cateto y la hipotenusa y se busca el valor del ángulo opuesto al cateto dado.
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sen A = 3 / 6 (cateto opuesto/hipotenusa)
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sen A = 0.5. Sabemos el seno pero no conocemos el ángulo.
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Escribimos: A = arcsen 0.5
3.2 ¿ Cómo hallarlos ?
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calculadora online.
Si dispone de una conexión a Internet puede usar la calculadora online de Gyplan.com
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http://www.gyplan.com/es/invtrigo_es.html
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usando tablas.
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En el siguiente enlace encontrará la manera de hallar un arcsen o arccos usando las tablas suministradas en esta página.
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3.1 La respuesta siempre son DOS ángulos !
La función arc___(x) siempre devuelve DOS ángulos menores a 360°.
Hay dos valores de A que satisfacen una ecuación de la forma A=arcsen(x) ó A=arccos(x)
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En la figura se muestra la ubicación de los ángulos para cada caso según se trate de arcsen o arccos y según sea el signo del argumento; además se muestra la relación entre ellos.
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Ejemplos:
TENGA ESTO SIEMPRE EN CUENTA
Para arccos dos videos del canal profemate:
​arccos - ejercicio 1 (en construcción)
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arccos - ejercicio 2 (en construcción)
Un ángulo se considera positivo cuando el sentido de giro del radio es contrario a la de las manecillas del reloj.
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Un ángulo se considera negativo si el sentido de giro del radio es el mismo de las manecillas del reloj.
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Las calculadoras, a veces, arrojan como resultado un ángulo negativo y se requiere convertirlo al ángulo positivo equivalente.
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Para hallar el equivalente positivo de un ángulo negativo, se le suman 360°. Por ejemplo - 40° = - 40° + 360° = 320°
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En la figura adjunta se muestran dos propiedades importantes que relacionan el seno y el coseno de un ángulo negativo con el seno y el coseno de su equivalente positivo. Son muy usadas y conviene memorizarlas.
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en un celular Android
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La calculadora que viene preinstalada en algunos celulares no tiene funciones trigonométricas inversas por lo tanto se requiere instalar una; se recomienda, para Android, la FXCalc Scientific Calculator de RazorScript.
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Uno de los ángulos se encuentra mediante cualquiera de los métodos mencionados a continuación. El otro, aplicando la relación adecuada según se explicó en el anterior apartado.
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calculadora.
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Muy importante es verificar que cuando se vayan a utilizar funciones trigonométricas en cualquier calculadora, los datos de entrada y salida estén expresados en grados sexagesimales y no en radianes (otra manera de medir ángulos); de otra manera los resultados serían complétamente erroneos. Las funciones trigonométricas inversas, usualmente, se encuentran en unas teclas sen a la menos 1 y cos a la menos 1 a las que se tiene acceso oprimiendo préviamente la tecla INV ó Shift
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Cada calculadora tiene su propia distribución de teclado y varía su operación. A manera de ejemplo se indican los pasos a seguir para el manejo de las funciones trigonométricas inversas en una calculadora Casio FX-570MS
2. Identidades Trigonométricas
Considérese la definición básica del seno y del coseno en un triángulo rectángulo. De tal definición se deduce, aplicando Pitágoras, una de las más importantes identidades trigonométricas:
Razones Trigonométricas de Angulos Complementarios
En un triángulo rectángulo (ver figura adjunta) el lado que, para uno de los ángulos agudos es el seno, para el otro ángulo ese mismo lado representa su coseno y viceversa.
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Esto conduce a las tres identidades que se indican y que se cumplen para cualquier par de ángulos siempre y cuando sean complementarios (su suma sea 90°)
En matemáticas, una identidad es una expresión algebraica que siempre es verdadera. Por ejemplo, en el álgebra elemental se estudian las identidades:
Verdaderas para cualquier valor de a o b.
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En trigonometría también existen este tipo de expresiones que son válidas para cualquier valor de los ángulos involucrados en ellas. Tales expresiones se denominan identidades trigonométricas.
Ejercicios:
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1. Indicar el valor de verdad de las proposiciones: sen80º = cos20º ; tan45º = ctg45º ; sec(80º-x) = csc(10º+x)
La primera es FALSA porque 80°+20° nó es 90°. La segunda es VERDADERA porque 45°+45°=90°. En cuanto a la tercera se requiere analizar si (80° - x) + (10° + x) es igual a 90°; esto efectívamente es así lugo la proposición es VERDADERA
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2. Dada la ecuación sen5x=cosx cuál será el valor de x ?
La única forma en que el seno de un ángulo sea igual a su coseno de otro es que los dos ángulos sean complementarios. En este caso que 5x + x = 90° de donde se deduce que 6x = 90° o sea x = 90° / 6 ; x = 15°
Ejercicios propuestos: (La solución se encuentra aquí)
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1. Dadas las ecuaciones sen3a – cosb = 0 y tan2b.ctg30º - 1 = 0 encontrar los valores de a y b que las satisfacen.
2. Se sabe que a y b son ángulos complementarios, además: sena = 2t + 3 ; cosb = 3t + 4.1 Hallar tana
